Théorème de Ceva : formulation et exemple avec solution

Dans cette publication, nous examinerons l'un des théorèmes classiques de la géométrie affine - le théorème de Ceva, qui a reçu un tel nom en l'honneur de l'ingénieur italien Giovanni Ceva. Nous analyserons également un exemple de résolution du problème afin de consolider le matériel présenté.

Énoncé du théorème

Triangle donné abc, dans lequel chaque sommet est relié à un point du côté opposé.

Ainsi, nous obtenons trois segments (AA', BB' и CC'), qui s'appellent céviens.

Ces segments se coupent en un point si et seulement si l'égalité suivante est vérifiée :

|ET'| |NE PAS'| |CB'| = |AVANT JC'| |DÉCALAGE'| |UN B'|

Le théorème peut également être présenté sous cette forme (on détermine dans quel rapport les points divisent les côtés):

Théorème trigonométrique de Ceva

Remarque : tous les coins sont orientés.

Exemple de problème

Triangle donné abc avec des points POUR', B' и C' sur les côtés BC, AC и AB, respectivement. Les sommets du triangle sont connectés aux points donnés et les segments formés passent par un point. En même temps, les points POUR' и B' pris au milieu des côtés opposés correspondants. Découvrez dans quel rapport le point C' divise le côté AB.

Solution

Faisons un dessin selon les conditions du problème. Pour notre commodité, nous adoptons la notation suivante :

• AB' = B'C = un
• BA' = A'C = b

Il ne reste plus qu'à composer le rapport des segments selon le théorème de Ceva et à y substituer la notation acceptée :

Après réduction des fractions, on obtient :

Par conséquent, AC' = C'B, c'est-à-dire le point C' divise le côté AB à moitié.

Ainsi, dans notre triangle, les segments AA', BB' и CC' sont des médianes. Après avoir résolu le problème, nous avons prouvé qu'ils se coupent en un point (valable pour tout triangle).

Remarque: en utilisant le théorème de Ceva, on peut prouver que dans un triangle en un point, les bissectrices ou hauteurs se coupent également.