Extraire la racine d'un nombre complexe

Dans cette publication, nous verrons comment vous pouvez prendre la racine d'un nombre complexe, et aussi comment cela peut aider à résoudre des équations quadratiques dont le discriminant est inférieur à zéro.

Extraire la racine d'un nombre complexe

Racine carrée

Comme on le sait, il est impossible de prendre la racine d'un nombre réel négatif. Mais lorsqu'il s'agit de nombres complexes, cette action peut être effectuée. Essayons de comprendre.

Disons que nous avons un nombre z = -9. For √-9 il y a deux racines :

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

Vérifions les résultats obtenus en résolvant l'équation z² = -9, sans oublier que i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ je² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ je² = 9 ⋅ (-1) = -9

Ainsi, nous avons prouvé que -3i и 3i sont des racines √-9.

La racine d'un nombre négatif s'écrit généralement ainsi :

√-1 = ±je

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√- 16 = ±4i et ainsi de suite

Racine à la puissance n

Supposons qu'on nous donne des équations de la forme z = ⁿ√w… Il a n les racines (z₀, De₁, De₂,…,z_n-1), qui peut être calculé à l'aide de la formule ci-dessous :

|w| est le module d'un nombre complexe w;

φ - son argumentation

k est un paramètre qui prend les valeurs : k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Équations quadratiques à racines complexes

L'extraction de la racine d'un nombre négatif change l'idée habituelle de uXNUMXbuXNUMXb. Si le discriminant (D) est inférieur à zéro, alors il ne peut pas y avoir de racines réelles, mais elles peuvent être représentées sous forme de nombres complexes.

Exemple

Résolvons l'équation x² – 8x + 20 = 0.

Solution

un = 1, b = -8, c = 20

ré = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, mais on peut toujours prendre la racine du discriminant négatif :

√D =- 16 = ±4i

Maintenant, nous pouvons calculer les racines :

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Par conséquent, l'équation x² – 8x + 20 = 0 a deux racines conjuguées complexes :

x₁ = 4 + 2je

x₂ = 4 – 2i