Élever un nombre complexe à une puissance naturelle

Dans cette publication, nous examinerons comment un nombre complexe peut être élevé à une puissance (y compris en utilisant la formule de De Moivre). Le matériel théorique est accompagné d'exemples pour une meilleure compréhension.

Élever un nombre complexe à une puissance

Rappelons tout d'abord qu'un nombre complexe a la forme générale : z = a + bi (forme algébrique).

Nous pouvons maintenant passer directement à la solution du problème.

Nombre carré

On peut représenter le degré comme un produit des mêmes facteurs, puis trouver leur produit (tout en se rappelant que i² = -1).

z² = (un + bi)² = (une + bi)(une + bi)

1 Exemple:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30je

Vous pouvez aussi utiliser, à savoir le carré de la somme :

z² = (un + bi)² = a² + 2 ⋅ une ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Remarque: De la même manière, si nécessaire, des formules pour le carré de la différence, le cube de la somme / différence, etc. peuvent être obtenues.

Nième degré

Élever un nombre complexe z en nature n beaucoup plus facile si elle est représentée sous forme trigonométrique.

Rappelez-vous qu'en général, la notation d'un nombre ressemble à ceci : z = |z| ⋅ (cos φ + je ⋅ sin φ).

Pour l'exponentiation, vous pouvez utiliser La formule de De Moivre (ainsi nommé d'après le mathématicien anglais Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + je ⋅ sin(nφ))

La formule est obtenue en écrivant sous forme trigonométrique (les modules sont multipliés, et les arguments sont additionnés).

Exemple 2

Élever un nombre complexe z = 2 ⋅ (cos 35° + je ⋅ sin 35°) jusqu'au huitième degré.

Solution

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + je ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + je sin 280°).