Table des matières
Dans cette publication, nous examinerons la définition du rang d'une matrice, ainsi que les méthodes par lesquelles il peut être trouvé. Nous analyserons également des exemples pour démontrer l'application de la théorie dans la pratique.
Détermination du rang d'une matrice
Rang matriciel est le rang de son système de lignes ou de colonnes. Toute matrice a ses rangs de lignes et de colonnes, qui sont égaux les uns aux autres.
Classement du système de lignes est le nombre maximal de lignes linéairement indépendantes. Le rang du système de colonnes est déterminé de la même manière.
Notes:
- Le rang de la matrice zéro (désigné par le symbole "θ“) de n'importe quelle taille est égal à zéro.
- Le rang de tout vecteur ligne ou vecteur colonne non nul est égal à un.
- Si une matrice de n'importe quelle taille contient au moins un élément qui n'est pas égal à zéro, alors son rang n'est pas inférieur à un.
- Le rang d'une matrice n'est pas supérieur à sa dimension minimale.
- Les transformations élémentaires effectuées sur une matrice ne changent pas son rang.
Trouver le rang d'une matrice
Méthode mineure frangeante
Le rang d'une matrice est égal à l'ordre maximum d'un non nul.
L'algorithme est le suivant: trouver les mineurs des ordres les plus bas aux plus élevés. Si mineur nème ordre n'est pas égal à zéro, et tous les suivants (n + 1) sont égaux à 0, donc le rang de la matrice est n.
Exemple
Pour que ce soit plus clair, prenons un exemple pratique et trouvons le rang de la matrice A ci-dessous, en utilisant la méthode du bordage des mineurs.
Solution
Nous avons affaire à une matrice 4 × 4, par conséquent, son rang ne peut pas être supérieur à 4. De plus, il y a des éléments non nuls dans la matrice, ce qui signifie que son rang n'est pas inférieur à un. Alors, commençons:
1. Commencez à vérifier mineurs du second ordre. Pour commencer, nous prenons deux rangées des première et deuxième colonnes.
Le mineur est égal à zéro.
Par conséquent, nous passons à la mineure suivante (la première colonne reste et au lieu de la seconde, nous prenons la troisième).
Le mineur est 54≠0, donc le rang de la matrice est au moins deux.
Remarque: Si ce mineur s'avérait égal à zéro, nous vérifierions davantage les combinaisons suivantes :
Si nécessaire, l'énumération peut être poursuivie de la même manière avec des chaînes :
- 1 et 3;
- 1 et 4;
- 2 et 3;
- 2 et 4;
- 3 et 4.
Si tous les mineurs de second ordre étaient égaux à zéro, alors le rang de la matrice serait égal à un.
2. Nous avons réussi presque immédiatement à trouver un mineur qui nous convient. Passons donc à mineurs du troisième ordre.
Au mineur trouvé du second ordre, qui a donné un résultat non nul, on ajoute une ligne et une des colonnes surlignées en vert (on part de la seconde).
Le mineur s'est avéré être nul.
Par conséquent, nous changeons la deuxième colonne en quatrième. Et à la deuxième tentative, on parvient à trouver un mineur qui n'est pas égal à zéro, ce qui signifie que le rang de la matrice ne peut pas être inférieur à 3.
Remarque: si le résultat s'avérait être à nouveau zéro, au lieu de la deuxième ligne, nous prendrions la quatrième plus loin et continuerions la recherche d'un "bon" mineur.
3. Il reste maintenant à déterminer mineurs du quatrième ordre sur la base de ce qui a été trouvé plus tôt. Dans ce cas, c'est celui qui correspond au déterminant de la matrice.
Mineure égale 144≠0. Cela signifie que le rang de la matrice A égale 4.
Réduction d'une matrice à une forme étagée
Le rang d'une matrice échelonnée est égal au nombre de ses lignes non nulles. Autrement dit, tout ce que nous avons à faire est de mettre la matrice sous la forme appropriée, par exemple en utilisant , qui, comme nous l'avons mentionné ci-dessus, ne change pas son rang.
Exemple
Trouver le rang d'une matrice B dessous. Nous ne prenons pas un exemple trop complexe, car notre objectif principal est simplement de démontrer l'application de la méthode dans la pratique.
Solution
1. Tout d'abord, soustrayez le premier doublé de la deuxième ligne.
2. Soustrayez maintenant la première ligne de la troisième ligne, multipliée par quatre.
Ainsi, nous avons obtenu une matrice en escalier dans laquelle le nombre de lignes non nulles est égal à deux, donc son rang est également égal à 2.