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Dans cette publication, nous examinerons l'un des principaux théorèmes de la géométrie euclidienne – le théorème de Stewart, qui a reçu un tel nom en l'honneur du mathématicien anglais M. Stewart, qui l'a prouvé. Nous analyserons également en détail un exemple de résolution du problème pour consolider le matériel présenté.
Énoncé du théorème
Triangle Dan abc. De son coté AC point pris D, qui est relié au sommet B. Nous acceptons la notation suivante :
- AB = un
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- CC = et
Pour ce triangle, l'égalité est vraie :
Application du théorème
À partir du théorème de Stewart, des formules peuvent être dérivées pour trouver les médianes et les bissectrices d'un triangle :
1. La longueur de la bissectrice
Laisser nous lc est la bissectrice tracée sur le côté c, qui est divisé en segments x и y. Prenons les deux autres côtés du triangle comme a и b… Dans ce cas:
2. Longueur médiane
Laisser nous mc est la médiane tournée vers le côté c. Notons les deux autres côtés du triangle comme a и b… Alors:
Exemple de problème
Triangle donné ABC. Sur le côté CA égal à 9 cm, point pris D, qui divise le côté de sorte que AD deux fois plus longtemps DC. La longueur du segment reliant le sommet B et point D, est de 5 cm. Dans ce cas, le triangle formé ABD est isocèle. Trouver les côtés restants du triangle abc.
Solution
Décrivons les conditions du problème sous la forme d'un dessin.
AC = AD + DC = 9 cm. AD plus long DC deux fois, c'est-à-dire AD = 2DC.
Par conséquent, le 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Alors, DC = 3cm, AD = 6 cm.
Parce que triangle ABD – isocèle, et côté AD est de 6 cm, donc ils sont égaux AB и BDIe AB = 5 cm.
Il ne reste plus qu'à trouver BC, dérivant la formule du théorème de Stewart :
Nous substituons les valeurs connues dans cette expression :
De cette façon, BC = √52 ≈ 7,21cm.