Définition et propriétés de la médiane d'un triangle

Dans cet article, nous examinerons la définition de la médiane d'un triangle, énumérerons ses propriétés et analyserons également des exemples de résolution de problèmes pour consolider le matériel théorique.

Définition de la médiane d'un triangle

Moyenne est un segment de droite qui relie un sommet d'un triangle au milieu du côté opposé à ce sommet.

• BF est la médiane tracée sur le côté AC.
• AF = CF

Médiane de base – le point d'intersection de la médiane avec le côté du triangle, c'est-à-dire le milieu de ce côté (point F).

propriétés médianes

Propriété 1 (principale)

Parce que si un triangle a trois sommets et trois côtés, alors il y a trois médianes, respectivement. Ils se croisent tous en un pointO), qui est appelée centroïde or centre de gravité d'un triangle.

Au point d'intersection des médianes, chacune d'elles est divisée dans un rapport de 2: 1, en partant du haut. Ceux.:

• AO = 2OE
• BO = 2OF
• CO = 2OD

Propriété 2

La médiane divise le triangle en 2 triangles de même aire.

S₁ =S₂

Propriété 3

Trois médianes divisent le triangle en 6 triangles d'aire égale.

S₁ =S₂ =S₃ =S₄ =S₅ =S₆

Propriété 4

La plus petite médiane correspond au plus grand côté du triangle et inversement.

• AC est le côté le plus long, d'où la médiane BF - le plus court.
• AB est le côté le plus court, d'où la médiane CD - le plus long.

Propriété 5

Supposons que nous connaissions tous les côtés du triangle (prenons-les comme a, b и c).

longueur médiane m_atiré sur le côté a, peut être trouvé par la formule :

Exemples de tâches

Tâche 1

L'aire de l'une des figures formées à la suite de l'intersection de trois médianes dans un triangle est de 5 cm². Trouvez l'aire du triangle.

Solution

Selon la propriété 3, discutée ci-dessus, à la suite de l'intersection de trois médianes, 6 triangles sont formés, de surface égale. Par conséquent:

S_△ = 5cm² ⋅ 6 = 30cm².

Tâche 2

Les côtés du triangle mesurent 6, 8 et 10 cm. Trouvez la médiane dessinée sur le côté avec une longueur de 6 cm.

Solution

Utilisons la formule donnée dans la propriété 5 :