Méthode de Gauss pour la solution SLAE

Dans cette publication, nous examinerons ce qu'est la méthode gaussienne, pourquoi elle est nécessaire et quel est son principe. Nous montrerons également à l'aide d'un exemple pratique comment la méthode peut être appliquée pour résoudre un système d'équations linéaires.

Description de la méthode de Gauss

Méthode de Gauss est la méthode classique d'élimination séquentielle des variables utilisée pour résoudre . Il porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1885).

Mais avant, rappelons que SLAU peut :

• avoir une solution unique ;
• avoir un nombre infini de solutions ;
• être incompatibles, c'est-à-dire n'avoir aucune solution.

Avantages pratiques

La méthode de Gauss est un excellent moyen de résoudre un SLAE qui comprend plus de trois équations linéaires, ainsi que des systèmes qui ne sont pas carrés.

Principe de la méthode de Gauss

La méthode comprend les étapes suivantes :

1. droit – la matrice augmentée correspondant au système d'équations, est réduite par le chemin au-dessus des lignes à la forme triangulaire supérieure (en gradins), c'est-à-dire sous la diagonale principale ne doit être que des éléments égaux à zéro.
2. RETOUR – dans la matrice résultante, les éléments au-dessus de la diagonale principale sont également mis à zéro (vue triangulaire inférieure).

Exemple de solution SLAE

Résolvons le système d'équations linéaires ci-dessous en utilisant la méthode de Gauss.

Solution

1. Dans un premier temps, nous présentons le SLAE sous la forme d'une matrice développée.

2. Maintenant, notre tâche consiste à réinitialiser tous les éléments sous la diagonale principale. D'autres actions dépendent de la matrice spécifique, nous décrirons ci-dessous celles qui s'appliquent à notre cas. Tout d'abord, nous échangeons les lignes, plaçant ainsi leurs premiers éléments dans l'ordre croissant.

3. Soustrayez de la deuxième ligne deux fois la première et de la troisième - triplez la première.

4. Ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne.

5. Soustrayez la deuxième ligne de la première ligne et divisez en même temps la troisième ligne par -10.

6. La première étape est terminée. Maintenant, nous devons obtenir les éléments nuls au-dessus de la diagonale principale. Pour ce faire, soustrayez le troisième multiplié par 7 de la première ligne et ajoutez le troisième multiplié par 5 au second.

7. La matrice développée finale ressemble à ceci :

8. Il correspond au système d'équations :

Réponse SLAU racine : x = 2, y = 3, z = 1.