Propriétés de hauteur d'un triangle rectangle

Dans cette publication, nous examinerons les principales propriétés de la hauteur dans un triangle rectangle et analyserons également des exemples de résolution de problèmes sur ce sujet.

Remarque: le triangle s'appelle rectangulaire, si l'un de ses angles est droit (égal à 90°) et les deux autres aigus (< 90°).

Propriétés de hauteur dans un triangle rectangle

Propriété 1

Un triangle rectangle a deux hauteurs (h₁ и h₂) coïncident avec ses pattes.

troisième hauteur (h₃) descend à l'hypoténuse à angle droit.

Propriété 2

L'orthocentre (point d'intersection des hauteurs) d'un triangle rectangle est au sommet de l'angle droit.

Propriété 3

La hauteur d'un triangle rectangle tiré vers l'hypoténuse le divise en deux triangles rectangles similaires, qui sont également similaires à celui d'origine.

1. △ABD ~ △abc à deux angles égaux : ∠BAD = ∠LAC (lignes droites), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~ △abc à deux angles égaux : ∠ADC = ∠LAC (lignes droites), ∠ACD = ∠PBR.

3. △ABD ~ △ADC à deux angles égaux : ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Preuve: ∠BAD = 90° – ∠ABC (ABC). En même temps ∠ACD (ACB) = 90° – ∠abc.

Donc, ∠BAD = ∠ACD.

On peut prouver de la même manière que ∠ABD = ∠DAC.

Propriété 4

Dans un triangle rectangle, la hauteur tracée à l'hypoténuse se calcule comme suit :

1. À travers des segments sur l'hypoténuse, formé à la suite de sa division par la base de la hauteur :

2. À travers les longueurs des côtés du triangle :

Cette formule est dérivée de Propriétés du sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle (le sinus de l'angle est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse) :

Remarque: à un triangle rectangle, les propriétés générales de hauteur présentées dans notre publication – s'appliquent également.

Exemple de problème

Tâche 1

L'hypoténuse d'un triangle rectangle est divisée par la hauteur qui lui est tracée en segments de 5 et 13 cm. Trouvez la longueur de cette hauteur.

Solution

Utilisons la première formule présentée dans Propriété 4:

Tâche 2

Les jambes d'un triangle rectangle mesurent 9 et 12 cm. Trouver la longueur de l'altitude tracée jusqu'à l'hypoténuse.

Solution

Trouvons d'abord la longueur de l'hypoténuse le long (que les jambes du triangle soient "à" и "B", et l'hypoténuse est "contre"):

c² = A² + B² = 9² + 12² = 225.

Par conséquent, le с = 15 cm.

Maintenant, nous pouvons appliquer la deuxième formule de Propriétés 4discuté ci-dessus: