Quelle est la limite d'une fonction

Dans cette publication, nous examinerons l'un des principaux concepts de l'analyse mathématique - la limite d'une fonction : sa définition, ainsi que diverses solutions avec des exemples pratiques.

Détermination de la limite d'une fonction

Limite de fonction – la valeur vers laquelle tend la valeur de cette fonction lorsque son argument tend vers le point limite.

Enregistrement limite :

• la limite est indiquée par l'icône lim;
• en dessous, on ajoute à quelle valeur tend l'argument (variable) de la fonction. Habituellement ceci x, mais pas nécessairement, par exemple :x→1″ ;
• puis la fonction elle-même est ajoutée à droite, par exemple :

  

Ainsi, l'enregistrement final de la limite ressemble à ceci (dans notre cas) :

Se lit comme "limite de la fonction lorsque x tend vers l'unité".

x→ 1 - cela signifie que "x" prend systématiquement des valeurs qui se rapprochent infiniment de l'unité, mais ne coïncideront jamais avec elle (elle ne sera pas atteinte).

Limites de décision

Avec un nombre donné

Résolvons la limite ci-dessus. Pour cela, il suffit de substituer l'unité dans la fonction (car x→1) :

Ainsi, pour résoudre la limite, nous essayons d'abord de simplement substituer le nombre donné dans la fonction en dessous (si x tend vers un nombre spécifique).

Avec l'infini

Dans ce cas, l'argument de la fonction augmente à l'infini, c'est-à-dire "X" tend vers l'infini (∞). Par exemple:

If x→∞, alors la fonction donnée tend vers moins l'infini (-∞), car :

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 etc..

Un autre exemple plus complexe

Afin de résoudre cette limite, il suffit également d'augmenter les valeurs x et regardez le "comportement" de la fonction dans ce cas.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Ainsi, pour "X"tendant vers l'infini, la fonction x² +3x –6 grandit indéfiniment.

Avec incertitude (x tend vers l'infini)

Dans ce cas, on parle de limites, lorsque la fonction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Où "X" tend vers l'infini.

Mise en situation : calculons la limite ci-dessous.

Solution

Les expressions au numérateur et au dénominateur tendent vers l'infini. On peut supposer que dans ce cas la solution sera la suivante :

Cependant, tout n'est pas si simple. Pour résoudre la limite, nous devons procéder comme suit :

1. Trouver x à la puissance la plus élevée pour le numérateur (dans notre cas, c'est deux).

2. De même, nous définissons x à la puissance la plus élevée pour le dénominateur (également égal à deux).

3. Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur par x en degré supérieur. Dans notre cas, dans les deux cas – dans le second, mais s'ils étaient différents, nous devrions prendre le degré le plus élevé.

4. Dans le résultat obtenu, toutes les fractions tendent vers zéro, donc la réponse est 1/2.

Avec incertitude (x tend vers un certain nombre)

Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, cependant, "X" tend vers un nombre spécifique, pas vers l'infini.

Dans ce cas, nous fermons conditionnellement les yeux sur le fait que le dénominateur est zéro.

Mise en situation : Trouvons la limite de la fonction ci-dessous.

Solution

1. Tout d'abord, substituons le nombre 1 dans la fonction, à laquelle "X". Nous obtenons l'incertitude de la forme que nous considérons.

2. Ensuite, nous décomposons le numérateur et le dénominateur en facteurs. Pour ce faire, vous pouvez utiliser les formules de multiplication abrégées, si elles conviennent, ou.

Dans notre cas, les racines de l'expression au numérateur (2x² – 5x + 3 = 0) sont les nombres 1 et 1,5. Il peut donc être représenté par : 2(x-1)(x-1,5).

Dénominateur (x–1) est initialement simple.

3. Nous obtenons une telle limite modifiée :

4. La fraction peut être réduite de (x–1):

5. Il ne reste plus qu'à substituer le chiffre 1 dans l'expression obtenue sous la limite :