Trouver la matrice inverse

Dans cette publication, nous examinerons ce qu'est une matrice inverse et, à l'aide d'un exemple pratique, nous analyserons comment la trouver à l'aide d'une formule spéciale et d'un algorithme d'actions séquentielles.

Définition de la matrice inverse

Tout d'abord, rappelons-nous ce que sont les réciproques en mathématiques. Disons que nous avons le nombre 7. Alors son inverse sera 7^-1 or ¹/₇. Si vous multipliez ces nombres, le résultat sera un, c'est-à-dire 7 7^-1 = 1.

Presque la même chose avec les matrices. Inverser une telle matrice est appelée, en multipliant par celle d'origine, on obtient l'identité. Elle est étiquetée comme A^-1.

Un · Un^-1 =E

Algorithme pour trouver la matrice inverse

Pour trouver la matrice inverse, vous devez être capable de calculer des matrices et avoir les compétences nécessaires pour effectuer certaines actions avec elles.

Il convient de noter tout de suite que l'inverse ne peut être trouvé que pour une matrice carrée, et cela se fait à l'aide de la formule ci-dessous :

|A| – déterminant matriciel;

A^T_M est la matrice transposée des additions algébriques.

Remarque: si le déterminant est nul, alors la matrice inverse n'existe pas.

Exemple

Trouvons pour la matrice A ci-dessous en est l'inverse.

Solution

1. Trouvons d'abord le déterminant de la matrice donnée.

2. Créons maintenant une matrice qui a les mêmes dimensions que celle d'origine :

Nous devons déterminer quels chiffres doivent remplacer les astérisques. Commençons par l'élément en haut à gauche de la matrice. Le mineur s'y trouve en barrant la ligne et la colonne où il se trouve, c'est-à-dire dans les deux cas au numéro un.

Le nombre qui reste après le barré est le mineur requis, c'est-à-dire M₁₁ = 8.

De même, nous trouvons les mineurs pour les éléments restants de la matrice et obtenons le résultat suivant.

3. On définit la matrice des additions algébriques. Comment les calculer pour chaque élément, nous avons examiné séparément.

Par exemple, pour un élément a₁₁ l'addition algébrique est considérée comme suit :

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 8 = 8

4. Effectuez la transposition de la matrice d'additions algébriques résultante (c'est-à-dire permutez les colonnes et les lignes).

5. Il ne reste plus qu'à utiliser la formule ci-dessus pour trouver la matrice inverse.

Nous pouvons laisser la réponse sous cette forme, sans diviser les éléments de la matrice par le nombre 11, car dans ce cas, nous obtenons des nombres fractionnaires laids.

Vérification du résultat

Pour nous assurer que nous avons obtenu l'inverse de la matrice d'origine, nous pouvons trouver leur produit, qui devrait être égal à la matrice d'identité.

En conséquence, nous avons obtenu la matrice d'identité, ce qui signifie que nous avons tout fait correctement.