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Dans cette publication, nous examinerons la définition et les principales propriétés des lignes médianes d'un quadrilatère convexe concernant leur point d'intersection, leur relation avec les diagonales, etc.
Remarque: Dans ce qui suit, nous ne considérerons qu'une figure convexe.
Détermination de la ligne médiane d'un quadrilatère
Le segment reliant les milieux des côtés opposés du quadrilatère (c'est-à-dire ne les coupant pas) est appelé son ligne médiane.
- EF – ligne médiane reliant les milieux AB и CD; AE = EB, CF = FD.
- GH – ligne médiane séparant les milieux BC и UN D; BG=GC, AH=HD.
Propriétés de la ligne médiane d'un quadrilatère
Propriété 1
Les lignes médianes du quadrilatère se coupent et se coupent au point d'intersection.
- EF и GH (lignes médianes) se coupent en un point O;
- EO = OF, GO = OH.
Remarque: Point O is centroïde (ou barycentre) quadrilatère.
Propriété 2
Le point d'intersection des lignes médianes du quadrilatère est le milieu du segment reliant les milieux de ses diagonales.
- K – le milieu de la diagonale AC;
- L – le milieu de la diagonale BD;
- KL passe par un point O, reliant K и L.
Propriété 3
Les milieux des côtés d'un quadrilatère sont les sommets d'un parallélogramme appelé Parallélogramme de Varignon.
Le centre du parallélogramme ainsi formé et le point d'intersection de ses diagonales est le milieu des lignes médianes du quadrilatère d'origine, c'est-à-dire leur point d'intersection O.
Remarque: L'aire d'un parallélogramme est la moitié de l'aire d'un quadrilatère.
Propriété 4
Si les angles entre les diagonales d'un quadrilatère et sa ligne médiane sont égaux, alors les diagonales ont la même longueur.
- EF – ligne médiane ;
- AC и BD – diagonales ;
- ∠ELC = ∠BMF = un, Par conséquent CA=BD.
Propriété 5
La ligne médiane d'un quadrilatère est inférieure ou égale à la moitié de la somme de ses côtés non sécants (à condition que ces côtés soient parallèles).
EF – une ligne médiane qui ne coupe pas les côtés AD и BC.
En d'autres termes, la ligne médiane d'un quadrilatère est égale à la moitié de la somme des côtés qui ne le coupent pas si et seulement si le quadrilatère donné est un trapèze. Dans ce cas, les côtés considérés sont les bases de la figure.
Propriété 6
Pour le vecteur médian d'un quadrilatère arbitraire, l'égalité suivante est vérifiée :
