Produit croisé de vecteurs

Dans cette publication, nous examinerons comment trouver le produit croisé de deux vecteurs, donnerons une interprétation géométrique, une formule algébrique et les propriétés de cette action, et analyserons également un exemple de résolution du problème.

Interprétation géométrique

Produit vectoriel de deux vecteurs non nuls a и b est un vecteur c, qui est noté [a, b] or a x b.

Longueur du vecteur c est égal à l'aire du parallélogramme construit à l'aide des vecteurs a и b.

Dans ce cas, c perpendiculairement au plan dans lequel ils se trouvent a и b, et est situé de sorte que la moindre rotation de a к b a été effectuée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (du point de vue de la fin du vecteur).

Formule de produit croisé

Produit de vecteurs a = {un_x; à_y,_z} je b = {b_x; b_y, b_z} est calculé à l'aide de l'une des formules ci-dessous :

Propriétés du produit croisé

1. Le produit croisé de deux vecteurs non nuls est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs sont colinéaires.

[a, b🇧🇷 0, Si a || b.

2. Le module du produit croisé de deux vecteurs est égal à l'aire du parallélogramme formé par ces vecteurs.

S_parallèle = |a x b|

3. L'aire d'un triangle formé par deux vecteurs est égale à la moitié de leur produit vectoriel.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Un vecteur qui est un produit croisé de deux autres vecteurs leur est perpendiculaire.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) X a = a x (mois b) = m (a x b)

7. (a + b) X c = a x c + b x c

Exemple de problème

Calculer le produit croisé a = {2 ; 4; 5} и b = {9 ; -deux; 3}.

Décision:

Réponse a x b = {19 ; 43 ; -42}.