Le petit théorème de Fermat

Dans cette publication, nous examinerons l'un des principaux théorèmes de la théorie des nombres entiers -  Le petit théorème de Fermatdu nom du mathématicien français Pierre de Fermat. Nous analyserons également un exemple de résolution du problème pour consolider le matériel présenté.

Énoncé du théorème

1. Initiale

If p est un nombre premier a est un entier non divisible par ppuis a^p-1 au 1 Février divisé par p.

Il s'écrit formellement ainsi : a^p-1 1 (contre p).

Remarque: Un nombre premier est un nombre naturel qui n'est divisible que par XNUMX et lui-même sans reste.

Par exemple :

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• nombre 15 divisé par 5 sans reste.

2ème alternative

If p est un nombre premier, a tout entier, alors a^p comparable à a forme p.

a^p ≡ un (contre p)

Histoire de trouver des preuves

Pierre de Fermat a formulé le théorème en 1640, mais ne l'a pas prouvé lui-même. Plus tard, cela a été fait par Gottfried Wilhelm Leibniz, un philosophe, logicien, mathématicien allemand, etc. On pense qu'il avait déjà la preuve en 1683, bien qu'elle n'ait jamais été publiée. Il est à noter que Leibniz a lui-même découvert le théorème, sans savoir qu'il avait déjà été formulé plus tôt.

The first proof of the theorem was published in 1736, and it belongs to the Swiss, German and mathematician and mechanic, Leonhard Euler. Fermat’s Little Theorem is a special case of Euler’s theorem.

Exemple de problème

Trouver le reste d'un nombre 2¹² on 12.

Solution

Imaginons un nombre 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 est un nombre premier, donc par le petit théorème de Fermat on obtient :

2¹¹ 2 (contre 11).

Par conséquent, 2⋅2¹¹ 4 (contre 11).

Donc le nombre 2¹² divisé par 12 avec un reste égal à 4.