Table des matières
Dans cette publication, nous examinerons les propriétés de base de la hauteur dans un triangle équilatéral (régulier). Nous analyserons également un exemple de résolution d'un problème sur ce sujet.
Remarque: le triangle s'appelle équilatéralsi tous ses côtés sont égaux.
Propriétés de hauteur dans un triangle équilatéral
Propriété 1
Toute hauteur dans un triangle équilatéral est à la fois une bissectrice, une médiane et une bissectrice perpendiculaire.
- BD – hauteur abaissée sur le côté AC;
- BD est la médiane qui divise le côté AC en deux, c'est-à-dire AD = DC;
- BD - bissectrice d'angle ABC, c'est-à-dire ∠ABD = ∠CBD ;
- BD est la médiane perpendiculaire à AC.
Propriété 2
Les trois hauteurs d'un triangle équilatéral ont la même longueur.
AE = BD = CF
Propriété 3
Les hauteurs d'un triangle équilatéral à l'orthocentre (point d'intersection) sont divisées dans un rapport de 2: 1, à compter du sommet à partir duquel elles sont tirées.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Propriété 4
L'orthocentre d'un triangle équilatéral est le centre des cercles inscrits et circonscrits.
- R est le rayon du cercle circonscrit;
- r est le rayon du cercle inscrit ;
- R = 2r (suit de Propriétés 3).
Propriété 5
La hauteur d'un triangle équilatéral le divise en deux triangles rectangles de surface égale (surface égale).
S1 =S2
Trois hauteurs dans un triangle équilatéral le divisent en 6 triangles rectangles de même aire.
Propriété 6
Connaissant la longueur du côté d'un triangle équilatéral, sa hauteur peut être calculée par la formule :
a est le côté du triangle.
Exemple de problème
Le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle équilatéral est de 7 cm. Trouve le côté de ce triangle.
Solution
Comme nous le savons de propriétés 3 и 4, le rayon du cercle circonscrit vaut 2/3 de la hauteur d'un triangle équilatéral (h). Par conséquent, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5cm.
Il reste maintenant à calculer la longueur du côté du triangle (l'expression est dérivée de la formule dans Propriété 6):
