Système d'équations algébriques linéaires

Dans cette publication, nous examinerons la définition d'un système d'équations algébriques linéaires (SLAE), à quoi il ressemble, quels types il existe, et aussi comment le présenter sous une forme matricielle, y compris étendue.

Définition d'un système d'équations linéaires

Système d'équations algébriques linéaires (ou "SLAU" en abrégé) est un système qui ressemble généralement à ceci :

• m est le nombre d'équations ;
• n est le nombre de variables.
• x₁, X₂,…, X_n - inconnue;
• a₁₁,₁₂…, une_mn – coefficients pour les inconnues;
• b₁, b₂,…,b_m – membres gratuits.

Indices des coefficients (a_ij) sont formés comme suit :

• i est le numéro de l'équation linéaire ;
• j est le numéro de la variable à laquelle se réfère le coefficient.

Solution SLAU – de tels chiffres c₁, C₂,…,c_n , dans le cadre de laquelle au lieu de x₁, X₂,…, X_n, toutes les équations du système se transformeront en identités.

Types de SLAU

1. homogène – tous les membres libres du système sont égaux à zéro (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Hétérogène – si la condition ci-dessus n'est pas remplie.
3. Carré – le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues, c'est-à-dire m = n.

   

4. Sous-déterminé – le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations.

   

5. remplacé Il y a plus d'équations que de variables.

   

Selon le nombre de solutions, SLAE peut être :

1. Commun a au moins une solution. De plus, s'il est unique, le système est dit défini, s'il existe plusieurs solutions, il est dit indéfini.

   

   Le SLAE ci-dessus est commun, car il existe au moins une solution : x = 2, y = 3.

2. incompatible Le système n'a pas de solutions.

   

   Les côtés droits des équations sont les mêmes, mais ceux de gauche ne le sont pas. Ainsi, il n'y a pas de solutions.

Notation matricielle du système

SLAE peut être représenté sous forme matricielle :

HACHE = B

• A est la matrice formée par les coefficients des inconnues :

  

• X – colonne de variables :

  

• B – colonne des membres libres :

  

Exemple

Nous représentons le système d'équations ci-dessous sous forme matricielle :

En utilisant les formulaires ci-dessus, nous composons la matrice principale avec des coefficients, des colonnes avec des membres inconnus et libres.

Enregistrement complet du système d'équations donné sous forme matricielle :

Matrice SLAE étendue

Si à la matrice du système A ajouter la colonne des membres gratuits à droite B, en séparant les données par une barre verticale, vous obtenez une matrice étendue de SLAE.

Pour l'exemple ci-dessus, cela ressemble à ceci :

– désignation de la matrice étendue.